Je vis dans un appartement montréalais typique : mal isolé et chauffé avec des plinthes électriques. Puisque l’électricité est l’unique source d’énergie utilisée pour chauffer  l’appartement et qu’Hydro-Québec fournit sur son site web une mesure de la puissance moyenne consommée pour chaque heure de la journée, j’ai pensé que je pourrais essayer d’estimer la conductivité thermique absolue de mon appartement.

Conductivité thermique

Le flux de chaleur \(q\) entre deux systèmes est proportionnel à la différence de température \(\Delta T\) entre ceux-ci. La constante de proportionnalité est nommée conductivité thermique. Dans cet article, nous utiliserons \(\alpha\) pour représenter la conductivité thermique entre mon appartement et l’extérieur. L’équation du flux de chaleur entre l’appartement et l’extérieur est

$$ q = \alpha \Delta T .$$

Notre but est de trouver \(\alpha\). Pour ce faire, nous devons mesurer la puissance électrique utilisée pour garder l’appartement à une température constante pour différentes valeurs de différence de température entre l’appartement et l’extérieur.

Configuration expérimentale

Mon appartement se situe au dernier étage d’un bâtiment de deux étages. J’ai trois appartements voisins : un en dessous et deux sur les côtés. La figure ci-dessous illustre les principaux flux de chaleur de mon appartement, où \(\mathbf{A}\) est mon appartement \(\mathbf{N_{i}}\) sont les appartements de mes voisins et \(\mathbf{E}\) est l’extérieur.

Puisque nous étudions uniquement les flux de chaleur durant l’hiver, le flux de chaleur principal \(\mathbf{q_{A E}}\) sera de mon appartement \(\mathbf{A}\) vers l’extérieur \(\mathbf{E}\). En général, la température extérieure varie de 5°C à -20°C en hiver à Montréal. Ceci implique une différence de température de 15°C à 40°C entre l’appartement et l’extérieur lorsque la température intérieure est de 20°C.

Lorsqu’il y a une différence de température entre mon appartement \(\mathbf{A}\) et un appartement voisin \(\mathbf{N_{i}}\), il y a un flux de chaleur \(\mathbf{q_{A N_i}}\) entre les deux. La différence de température entre deux appartements voisins est généralement sous 10°C, donc ces flux de chaleur entre appartements devraient être moins importants que le flux de chaleur vers l’extérieur.

Le flux de chaleur total \(\mathbf{q}\) de l’appartement est résumé par l’équation suivante :

$$q = q_{A E} + \sum_{i=1}^3{q_{A N_i}} .$$

Si la température à l’intérieur de mon appartement a atteint un régime permanent et que nous supposons que toute l’électricité consommée \(\mathbf{P}\) est utilisée pour chauffer l’appartement, alors la puissance d’électricité consommée \(\mathbf{P}\) est totalement utilisée pour compenser la perte de chaleur \(\mathbf{q}\). Sous ces suppositions, la puissance électrique consommée est égale au flux de chaleur total de l’appartement

$$P=q .$$

Le moment qui s’approche le plus de ces suppositions est à la fin de la nuit. À ce moment, deux sources importantes de variabilité de consommation électrique et de flux de chaleur sont éliminées : l’activité humaine et la radiation solaire.

La figure suivante présente la puissance électrique moyenne horaire durant une journée d’hiver typique. Durant cette journée, la température extérieure était d’environ -10°C pour la plupart de la journée, descendant à -16°C vers la fin de la journée.

On remarque qu’il y a beaucoup plus de variabilité durant la journée que durant la nuit. Le point de consigne des thermostats de mon appartement est baissé avant d’aller se coucher, alors il faut quelques heures pour que la température se stabilise et que les flux de chaleurs atteignent un régime permanent. Si nous mesurons pour notre analyse la puissance électrique juste avant de se lever le matin, nous pouvons supposer que les flux de chaleur ont atteint leur régime permanent.

Modèle

Pour déterminer la conductivité thermique de l’appartement avec l’extérieur, nous devons enregistrer la température extérieure, la température intérieure et la puissance électrique à la fin de la nuit durant plusieurs journées.

La conductivité thermique \(\alpha\) est déterminée en ajustant le modèle linéaire suivant aux données enregistrées :

$$ P = \alpha \Delta T + \beta $$

où \(P\) est la puissance électrique consommée, \(\alpha\) est la conductivité thermique, \(\Delta T\) est la différence de température entre l’intérieur de l’appartement et l’extérieur et \(\beta\) est un flux de chaleur constant, indépendant de la différence de température \(\Delta T\).

Ce modèle est équivalent à l’équation du flux de chaleur total \(q\) présenté plus tôt, avec les changements de variables suivants:

$$\Delta T \alpha = q_{A E}$$

$$\beta = \sum_{i=1}^3{q_{A N_i}} .$$

Le flux de chaleur avec les voisins est constant puisqu’il est indépendant de le différence de température entre mon appartement et l’extérieur. Évidemment, cette constante sera bruitée puisque la température relative entre les appartements varie dans le temps.

Résultats

La température extérieure, la température intérieure et la puissance électrique utilisée ont été enregistrées de la mi-octobre 2018 à la mi-janvier 2019. La puissance électrique en fonction de la différence de température entre l’intérieur de l’appartement et l’extérieur durant cette période est présentée dans la figure suivante.

Comme que prévu, la puissance électrique augmente de façon linéaire lorsque la différence de température augmente. Nous observons également que l’étendue des mesures de puissance électrique augmente lorsque la différence de température augmente. Ceci nous indique que la conductivité thermique \(\alpha\) varie. Même si nous avons enregistré les données durant la nuit, sans radiation solaire, d’autres facteurs environnementaux peuvent influencer la conductivité thermique. Deux facteurs importants sont probablement la couverture de neige sur le toit et le vent. Une couverture de neige sur le toit va augmenter l’isolation du toit, réduisant par le fait même la conductivité thermique. Le vent n’a pas d’effet sur l’isolation, mais empêche la formation d’une couche d’air plus chaud à la surface du toit, augmentant ainsi la différence de température entre les surfaces intérieur et extérieur du toit.

Nous pourrions utiliser un modèle de régression linéaire classique pour déterminer \(\alpha\) et \(\beta\) dans notre modèle linéaire

$$ P = \alpha \Delta T + \beta .$$

Cependant, un modèle de régression linéaire suppose que les erreurs se trouvent uniquement sur \(\beta\), pas sur \(\alpha\). Or, nous venons d’observer que \(\alpha\) est bruité. Pour obtenir un modèle mieux ajusté aux données observées, nous supposons que \(\alpha\) et \(\beta\) sont des variables gaussiennes

$$ \alpha \sim \mathcal{N}(\mu_\alpha, \sigma^2_\alpha)$$

$$ \beta \sim \mathcal{N}(\mu_\beta, \sigma^2_\beta).$$

Avec ces suppositions, nous obtenons ce modèle probabiliste pour nos données :

$$ P \sim \mathcal{N}(\Delta T \mu_\alpha + \mu_\beta, {\Delta T}^2 \sigma^2_\alpha + \sigma^2_\beta) .$$

Nous utilisons une descente de gradient pour déterminer les valeurs des paramètres \(\mu_\alpha\), \(\mu_\beta\), \(\sigma_\alpha\) et \(\sigma_\beta\) qui maximisent la fonction de vraisemblance du modèle. Dans la figure 4 suivante, la droite noire représente la moyenne des paramètres et la région en rouge représente l’intervalle de confiance de 95% des paramètres. La table 1 ci-dessous présente les valeurs des paramètres obtenues.

[table caption=”Table 1 : Paramètres du modèle probabiliste”]
Paramètre, Moyenne, Écart type, Unité
\(\alpha \) (conductivité thermique) , 111 , 19.6, W/°C
\(\beta \) (puissance constante), -389, 0, W
[/table]

À partir de la figure, nous observons que l’ajustement du modèle est généralement assez bon. En particulier, l’incertitude (la variance totale de la distribution) augmente lorsque la différence de température augmente. Malheureusement, avec les données que nous avons, la descente de gradient converge toujours vers 0 pour \(\sigma_\beta \), l’écart type de \(\beta\). Ceci ne représente pas la réalité, puisqu’il y a nécessairement du bruit indépendant de la différence de température. Par exemple, la différence de température entre mon appartement et mes voisins varie dans le temps, ce qui induit du bruit dans \(\beta\).

Je crois que le problème est que la variance dépendante de la différence de température augmente au carré de la différence de température. Ceci veut dire que la variance dépendante de la température (\({\Delta T}^2 \sigma^2_\alpha\)) domine rapidement la variance indépendante de la température (\(\sigma^2_\beta\)). Malheureusement, nous n’avons pas beaucoup de données avec une différence de température de moins de 10°C, alors la descente de gradient n’a pas assez de données pour correctement trouver \(\sigma^2_\beta\).

Si nous ajouter deux points de données à une différence de température de 7.5°C, chacun à 300W de chaque côté de la moyenne, et que nous ajustons à nouveau le modèle, nous obtenus les résultats de la figure 5 et du tableau 2 ci-dessous. Les points ajoutés sont dessinés en vert.

[table caption=”Table 2 : Paramètres du modèle probabiliste, avec données augmentées”]
Paramètre, Moyenne, Écart type, Unité
\(\alpha \) (conductivité thermique) , 112, 18.8, W/°C
\(\beta \) (puissance constante), -407, 118.7, W
[/table]

Cette fois, la descente de gradient converge vers un écart type \(\sigma_\beta\) de 118.7W, ce qui est plus sensé. Également, l’intervalle de confiance de 95% de la figure 5 est plus réaliste que celui de la figure 4. Malheureusement, il ne sera probablement pas possible d’obtenir des données avec un \(\Delta T\) sous les 10°C avant le printemps prochain. Heureusement, même si les mesures de variances avec les données actuelles sont imparfaites, les moyennes semblent valides et l’intervalle de confiance de 95% présenté à la figure 5 représente tout le même assez bien les données.

La puissance constante \(\beta\) négative de -389W indique qu’il est nécessaire d’avoir un système pour “absorber” 389W de puissance pour conserver une température constante dans mon appartement lorsque la différence de température entre l’intérieur et l’extérieur est nulle. Cela veut dire qu’en moyenne, mes voisins fournissent un flux de chaleur nette de 389W à mon appartement. Cela veut également dire qu’en moyenne, je n’ai pas à chauffer mon appartement avant que la différence de température ait atteint 3.5°C. La flux de chaleur constant est probablement plus élevé que 389W en réalité puisqu’une petite fraction de la puissance électrique n’est pas utilisée pour chauffer mon appartement. Par exemple, mon chauffe-eau électrique est situé au sous-sol de l’immeuble, donc l’énergie utilisée pour garder l’eau à 60°C toute la nuit n’est pas utilisée pour chauffer mon appartement. Cette puissance “perdue” est probablement dans l’ordre de 100W à 200W.

Conclusion

En moyenne, la conductivité thermique de mon appartement est de 111W/°C. Ceci veut dire que pour chaque degré Celsius de différence de température entre l’intérieur et l’extérieur de mon appartement, 111W de puissance électrique supplémentaire est nécessaire pour garder constante la température intérieure de l’appartement. Également, il y a un flux thermique constant moyen de 389W qui entre dans mon appartement, même si je ne le chauffe pas. Ce flux de chaleur provient probablement des voisins qui gardent leur appartement plus chaud que le mien. Merci les voisins!

Une conductivité thermique de 111W/°C est assez élevée pour un appartement de deux chambres. Cela ne me surprend pas vraiment puisque mon appartement est très mal isolé. En fait, je crois qu’il n’y a absolument aucune isolation dans les murs et le plafond. Malheureusement, ceci est assez typique à Montréal. Même si nous visons dans un climat froid, l’énergie électrique, la source d’énergie la plus populaire pour chauffer les habitations, est extrêmement bon marché au Québec (5.9¢/kWh). Les propriétaires de vieux logements mal isolés ont donc peu d’incitatifs  pour améliorer l’efficacité énergétique de leur bâtiment.

Le code Python utilisé pour ajuster le modèle aux données et pour générer les figures est disponible.